Asignatura optativa del Grado de Matemáticas de la UNED.

• Guía de la asignatura
• Guía II
• Crisis de la razón y racionalismos contemporáneos, Joaquín Herrero

1. Historia y paradojas de la Teoría de conjuntos (Cantor-Zermelo)
2. El desarrollo del programa de Hilbert para la Fundamentación de la matemática

Acceso a Materiales complementarios

Acceso a Foro

El curso está estructurado en torno al cuestionario sobre el texto de Torretti: son 22 preguntas que el estudiante puede resolver en 11 semanas.

Cada estudiante debe resolver ambas preguntas (dedicando unas 500 palabras a cada respuesta) y colgarlas en el foro dedicado a ello en el curso virtual como prueba de evaluación continua. Sin embargo, las preguntas no analizan con igual intensidad todas las partes del libro. Las diez primeras se concentran sobre las 100 primeras páginas. Pero sólo hay cuatro preguntas sobre las 70 páginas siguientes. Sobre los tres últimos capítulos del libro (2.10, 2.11 y 2.12) se formulan apenas tres preguntas generales, pero su estudio requiere bastante profundidad. Como principio general, no se pretende que el alumno maneje o memorice los muchos formalismos y demostraciones que presenta Torretti, sino que debe trabajar con ellos para poder responder con precisión a las preguntas planteadas en el cuestionario. Se recomienda que cada estudiante vaya avanzando y resolviendo el cuestionario a su paso, sin perder de vista el calendario de referencia del curso. Cuando le surjan dudas, debe colgarlas en el foro dedicado al efecto en el curso virtual.

Nuestro tutor Antonio Juano me hacía una observación muy acertada la semana pasada. En esta asignatura puede pasaros en las PECs que queráis citar algún texto para complementar el libro de Torretti -como sucedió en la pregunta sobre su biografía.

Y para citar correctamente es necesario un estilo de cita. Esto os hará falta en el TFG, y más si seguís luego con el Máster. Así que una cosa que podéis hacer en esta asignatura es practicar con un estilo de cita muy usado en matemáticas.

Si os estáis preguntando qué es eso de citar y para qué sirve, aquí hay una explicación breve:

https://www2.uned.es/biblioteca/tutorial_uso_etico/citas_bibliograficas.htm

Si queréis ver un estilo de cita estándar en matemáticas, el AMS, aquí tenéis dos referencias:

• Un libro de estilo muy completo, las citas bibliográficas en la página 66: https://www.ams.org/publications/authors/AMS-StyleGuide-online.pdf
• AMS Author Handbook Journal Classes

No es, por supuesto, obligatorio, pero cualquier oportunidad es buena para practicar.

J. Ferreiros, Reseña de Torretti, El Paraíso de Cantor

I. Jané, Reseña de Ferreirós, Labyrinths of Thought

C. Álvarez, De la determinación del infinito a la inaccesibilidad en los cardinales transfinitos, Critica 26/78 (1994), 27-71

J. Ferreirós, El enfoque conjuntista en matemáticas, LA GACETA vol. 1, no. 3 (1998), 389-412

I. Jané, ¿De qué trata la teoría de conjuntos?, R. Orayen et al. (ed), Filosofía de la lógica, Madrid, Trotta, 2004

J. Ferreirós, Un Episodio de la crisis de fundamentos, LA GACETA DE LA RSME, Vol. 7.2 (2004), pp. 449467

Leo Corry, David Hilbert y su Filosofía Empiricista de la Geometría, Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, 9 (1) (2002), 27-44

J. Ferreirós, Kurt Gödel: revolución en los fundamentos de la matemática, ARBOR Ciencia, Pensamiento y Cultura CLXXXIII 725 mayo-junio (2007) 409-418

I, Jané, La obra de Gödel en lógica matemática y teoría de conjuntos, LA GACETA, vol. 9, no. 3, 2006, 772-788

J. Bagaria, El legado de Turing en la lógica matemática y los fundamentos de las matemáticas, Arbor 189 (2013)

J. Ramos Arenas, Sobre la naturaleza de la Tesis de Church. Ideas y Valores, nº 92-93, diciembre de 1993, Bogotá (Colombia), páginas 157-167.

Si el alumno desea tener una introducción accesible al conjunto de la Historia de la matemática, puede utilizar el libro de Hans Wussing, Lecciones de Historia de la matemática , Madrid, Siglo XXI, 1998.

Una recopilación de textos originales que le servirá para ilustrarla es la de S. Hawking, Dios creó los números, Barcelona, Crítica, 2006.

Buena parte de los textos originales en los que se apoya el libro de Torretti se encuentran recopilados en J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, Harvard, Harvard University Press, 1990.

Antonio Juano, tutor de nuestra asignatura, nos propone las siguientes lecturas para introduciros en la asignatura, que podéis descargar de la carpeta “Lecturas introductorias”, en los Documentos del curso.

Marta Macho, Curiosidades sobre el conjunto de Cantor

En este texto de Marta Macho, profesora de topología en la UPV/EHU y divulgadora matemática, sobre el conjunto de Cantor, realiza un contextualización histórica de la obra Cantor que os ayudará con el texto de Torretti -lo que dice sobre el conjunto como tal no lo abordaremos en el curso.

Ian Stewart, Mentes maravillosas. Los matemáticos que cambiaron el mundo

Este fragmento del libro del famoso divulgador Ian Stewart, se corresponde con el capítulo 12, titulado “El cardinal del continuo - George Cantor”. Podríamos utilizar ese documento como una introducción amena a la asignatura, que nos atrape en el pensamiento del genio excepcional de Cantor y nos empuje al estudio de buena parte de la asignatura, que está basada en sus ideas.

Antonio Durán, “Cien años sin Cantor”, Gaceta RSME

Este artículo del profesor Durán nos dará una visión general de la asignatura, más amplio y profundo que el anterior, relacionando los diversos autores que aparecen en el texto base. Podríamos denominarlo una vista de pájaro de nuestra Historia. Hay que tener en cuenta que, si bien es cierto, todavía en un ámbito muy general, lo explica con un lenguaje muy accesible y con anécdotas que facilitan la comprensión de ciertas cuestiones más áridas.

Carlos Gómez Bermúdez “Georg Cantor, centenario”, Gaceta RSME

Este artículo se centra en la primera parte de la asignatura, la que el profesor Torretti titula Conjuntos, en ella con un lenguaje matemático actual, más cercano al conocido y utilizado por los estudiantes del Grado en otras asignaturas, se profundiza en estas cuestiones de manera didáctica y actual. El profesor Gómez Bermudez es un auténtico especialista, que ha publicado artículos, trabajos y libros sobre George Cantor.

R. DiMartino & W. Urbina, “Excursiones a conjuntos similares al conjunto de Cantor”, Gaceta RSME

Este artículo sobre el denominado conjunto de Cantor, va destinado a aquellos estudiantes que quieran profundizar en este tema, tratado en el texto de Torretti. Es muy interesante y completo el estudio de dicho conjunto perfecto y nunca denso en la recta real.

Para los muy curiosos: si queréis, además, echar un “vistazo virtual” a la edición de escritos de Cantor que ha preparado Gómez Bermúdez, podéis consultar esta reseña: La Gaceta de la RSME, Vol. 24 (2021), Núm. 1, Págs. 211–219

• https://plato.stanford.edu/search/search?query=%22georg+cantor%22

• Fourier, Cantor, las series trigonométricas y la teoría de conjuntos

• Georg Cantor, el Constructor del Paraíso, TFG de José Javier González López
• Materiales complementarios

• Hilbert's Program, Stanford Encyclopedia of Philosophy

Prefacio xi 

1 CONJUNTOS

1.1 La palabra ʻconjuntoʼ en la matemática del siglo XX .........................................................1
1.2 ʻConjuntoʼ (ʻMengeʼ) en el vocabulario de Cantor ............................................................7
1.3 Series trigonométricas .....................................................................................13
1.4 Diversos infinitos .........................................................................................21
1.5 Aritmética transfinita .....................................................................................29
1.6 Paradojas y filosofemas ....................................................................................49
1.7 El Teorema del Buen Orden y el Axioma de Selección .........................................................63
1.8 Axiomas para una teoría de conjuntos .......................................................................71
1.8.1 Zermelo (1908) ...........................................................................................71
1.8.2 ¿Qué está ʻbien definidoʼ? ...............................................................................80
1.8.3 El Axioma de Reemplazo ...................................................................................87
1.8.4 Aportes de von Neumann ...................................................................................90
1.8.5 Zermelo (1930) ..........................................................................................102

2 CÁLCULOS

2.1 El programa de Hilbert ................................................................................... 115
2.2 Escritura conceptual ......................................................................................129
2.3 Fundamentos de la aritmética ..............................................................................145
2.3.1 Peano (1889) ............................................................................................145
2.3.2 Dedekind (1888) .........................................................................................151
2.3.3 Frege (1884) ............................................................................................159
2.4 La teoría de los tipos lógicos ............................................................................177
2.5 Aritmética finitista ..................................................................................... 211
2.6 Pruebas de consistencia ...................................................................................219
2.6.1 Ackermann (1925) ........................................................................................219
2.6.2 Von Neumann (1927) ......................................................................................232
2.6.3 Herbrand (1931b) ........................................................................................241
2.7 El Entscheidungsproblem y el Teorema de Herbrand ..........................................................247
2.8 El cálculo predicativo de primer orden es completo ........................................................273
2.9 El programa de Hilbert visto más de cerca .................................................................295
2.9.1 Axiomatización y formalización ..........................................................................295
2.9.2 Balbuceos formales (Hilbert 1904) .......................................................................297
2.9.3 Teoría de la prueba .....................................................................................304
2.9.4 La investigación de la consistencia de la matemática formalizada, a la luz del descubrimiento de Gödel ..316
2.10 Los Teoremas de Incompletud de Gödel .....................................................................321
2.10.1 Preliminares ...........................................................................................321
2.10.2 La incompletud de la aritmética ........................................................................326
2.10.3 La indemostrabilidad de la consistencia ................................................................354
2.11 Funciones computables ....................................................................................359
2.11.1 Funciones recursivas generales .........................................................................361
2.11.2 La Tesis y el Teorema de Church ........................................................................369
2.11.3 Las máquinas de Turing .................................................................................381
2.11.4 Diagramas y ejemplos ...................................................................................383
2.11.5 Demostración de resultados .............................................................................407
2.12 Consistencia de la aritmética: la prueba de Gentzen ......................................................421
2.12.1 Un cálculo aritmético ..................................................................................423
2.12.2 Reducciones ............................................................................................429
2.12.3 Orden de las derivaciones e inducción transfinita ......................................................441

APÉNDICES

I Las definiciones cantorianas de ʻconjunto bien ordenadoʼ ....................................................459
II Más sobre el buen orden ....................................................................................461
III La cardinalidad de la segunda clase de ordinales ..........................................................463
IV El argumento de Burali-Forti ...............................................................................465
V La segunda demostración del Teorema del Buen Orden (Zermelo 1908) ...........................................468
VI Los axiomas de Zermelo (1908a) .............................................................................471
VII Independencia del Axioma de Selección (Fraenkel 1922a) ....................................................472
VIII Definición por inducción transfinita (von Neumann 1928) ..................................................476
IX El cálculo predicativo .....................................................................................480
X Axiomas de la lógica (Frege 1879) ...........................................................................502
XI Definiciones recursivas (Dedekind 1888) ....................................................................504
XII Extensión y recorrido (Frege 1891, 1893a) .................................................................509
XIII Fórmulas prenexas ........................................................................................516
XIV El cálculo de predicados monádicos es decidible ...........................................................522
XV El cálculo proposicional es completo .......................................................................525
XVI Una forma abstracta del Primer Teorema de Incompletud de Gödel (Smullyan 1992) ............................527
XVII Números de Gödel: Una alternativa ........................................................................529
XVIII Los axiomas del cálculo de primer orden investigado por Gödel (1930) son derivables en el cálculo 
de secuentes propuesto por Gentzen (1938) .....................................................................531
XIX Algunas ideas de Brouwer ..................................................................................535
GLOSARIO ......................................................................................................541
OBRAS CITADAS .................................................................................................551
ABREVIATURAS Y SÍMBOLOS .......................................................................................573
ÍNDICE DE PERSONAS Y CONCEPTOS ................................................................................575