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====== Historia de las matemáticas ======

Asignatura optativa del Grado de Matemáticas de la UNED.
  * [[http://portal.uned.es/GuiasAsignaturasGrados/PDFGuiaPublica?idA=61024109&c=2022&idT=6102|Guía de la asignatura]]
  * {{:math:guiaii_2021_2022_-43739385.pdf|Guía II}}
  * [[https://filosofias.es/wiki/doku.php/ensayos/crisis-de-la-razon-y-racionalismos-contemporaneos|Crisis de la razón y racionalismos contemporáneos]], Joaquín Herrero

===== Contenidos =====
  - Historia y paradojas de la Teoría de conjuntos (Cantor-Zermelo)
  - El desarrollo del programa de Hilbert para la Fundamentación de la matemática

Acceso a [[math:materiales-complementarios|]]

Acceso a [[math:forouned|]]
===== Metodología =====

El  curso  está  estructurado  en  torno  al  cuestionario  sobre  el  texto  de  Torretti:  son  22
preguntas que el estudiante puede resolver en 11 semanas.

Cada estudiante debe resolver
ambas preguntas (dedicando unas 500 palabras a cada respuesta) y colgarlas en el foro
dedicado a ello en el curso virtual como prueba de evaluación continua. 
Sin embargo, las preguntas no analizan con igual intensidad todas las partes del libro. Las
diez primeras se concentran sobre las 100 primeras páginas. Pero sólo hay cuatro preguntas
sobre las 70 páginas siguientes. Sobre los tres últimos capítulos del libro (2.10, 2.11 y 2.12)
se  formulan  apenas  tres  preguntas  generales,  pero  su  estudio  requiere  bastante
profundidad. Como principio general, no se pretende que el alumno maneje o memorice los
muchos formalismos y demostraciones que presenta Torretti, sino que debe trabajar con
ellos para poder responder con precisión a las preguntas planteadas en el cuestionario. Se
recomienda que cada estudiante vaya avanzando y resolviendo el cuestionario a su paso,
sin  perder  de  vista  el  calendario  de  referencia  del  curso.  Cuando  le  surjan  dudas,  debe
colgarlas  en  el  foro  dedicado  al  efecto  en  el  curso  virtual. 

===== Cómo citar en matemáticas =====

Nuestro tutor Antonio Juano me hacía una observación muy acertada la semana pasada. En esta asignatura puede pasaros en las PECs que queráis citar algún texto para complementar el libro de Torretti -como sucedió en la pregunta sobre su biografía.

Y para citar correctamente es necesario un estilo de cita. Esto os hará falta en el TFG, y más si seguís luego con el Máster. Así que una cosa que podéis hacer en esta asignatura es practicar con un estilo de cita muy usado en matemáticas.

Si os estáis preguntando qué es eso de citar y para qué sirve, aquí hay una explicación breve:

https://www2.uned.es/biblioteca/tutorial_uso_etico/citas_bibliograficas.htm

Si queréis ver un estilo de cita estándar en matemáticas, el AMS, aquí tenéis dos referencias:

  * Un libro de estilo muy completo, las citas bibliográficas en la página 66: https://www.ams.org/publications/authors/AMS-StyleGuide-online.pdf
  * AMS Author Handbook Journal Classes

No es, por supuesto, obligatorio, pero cualquier oportunidad es buena para practicar. 

===== Recursos =====

J. Ferreiros, Reseña de Torretti, El Paraíso de Cantor

I. Jané, Reseña de Ferreirós, Labyrinths of Thought

C. Álvarez, De la determinación del infinito a la inaccesibilidad en los cardinales transfinitos, Critica 26/78 (1994), 27-71

J. Ferreirós, El enfoque conjuntista en matemáticas, LA GACETA vol. 1, no. 3 (1998), 389-412

I. Jané, ¿De qué trata la teoría de conjuntos?, R. Orayen et al. (ed), Filosofía de la lógica, Madrid, Trotta, 2004

J. Ferreirós, Un Episodio de la crisis de fundamentos, LA GACETA DE LA RSME, Vol. 7.2 (2004), pp. 449467

Leo Corry, David Hilbert y su Filosofía Empiricista de la Geometría, Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, 9 (1) (2002), 27-44

J. Ferreirós, Kurt Gödel: revolución en los fundamentos de la matemática, ARBOR Ciencia, Pensamiento y Cultura CLXXXIII 725 mayo-junio (2007) 409-418

I, Jané, La obra de Gödel en lógica matemática y teoría de conjuntos, LA GACETA, vol. 9, no. 3, 2006, 772-788

J. Bagaria, El legado de Turing en la lógica matemática y los fundamentos de las matemáticas, Arbor 189 (2013)

J. Ramos Arenas, Sobre la naturaleza de la Tesis de Church. Ideas y Valores, nº 92-93, diciembre de 1993, Bogotá (Colombia), páginas 157-167.

===== Bibliografía complementaria =====

 
Si el alumno desea tener una introducción accesible al conjunto de la Historia de la
matemática, puede utilizar el libro de Hans Wussing, Lecciones de Historia de la matemática
, Madrid, Siglo XXI, 1998.

Una recopilación de textos originales que le servirá para ilustrarla es la de S. Hawking, Dios
creó los números, Barcelona, Crítica, 2006.

Buena parte de los textos originales en los que se apoya el libro de Torretti se encuentran
recopilados en J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, Harvard, Harvard University Press,
1990.

Antonio Juano, tutor de nuestra asignatura, nos propone las siguientes lecturas para introduciros en la asignatura, que podéis descargar de la carpeta "Lecturas introductorias", en los Documentos del curso.

Marta Macho, Curiosidades sobre el conjunto de Cantor

En este texto de Marta Macho, profesora de topología en la UPV/EHU y divulgadora matemática, sobre el conjunto de Cantor, realiza un contextualización histórica de la obra Cantor que os ayudará con el texto de Torretti -lo que dice sobre el conjunto como tal no lo abordaremos en el curso.

Ian Stewart, Mentes maravillosas. Los matemáticos que cambiaron el mundo

Este fragmento del libro del famoso divulgador Ian Stewart, se corresponde con el capítulo 12, titulado "El cardinal del continuo - George Cantor". Podríamos utilizar ese documento como una introducción amena a la asignatura, que nos atrape en el pensamiento del genio excepcional de Cantor y nos empuje al estudio de buena parte de la asignatura, que está basada en sus ideas.


Antonio Durán, "Cien años sin Cantor", Gaceta RSME

Este artículo del profesor Durán nos dará una visión general de la asignatura, más amplio y profundo que el anterior, relacionando los diversos autores que aparecen en el texto base. Podríamos denominarlo una vista de pájaro de nuestra Historia. Hay que tener en cuenta que, si bien es cierto, todavía en un ámbito muy general, lo explica con un lenguaje muy accesible y con anécdotas que facilitan la comprensión de ciertas cuestiones más áridas.

Carlos Gómez Bermúdez "Georg Cantor, centenario", Gaceta RSME

Este artículo se centra en la primera parte de la asignatura, la que el profesor Torretti titula Conjuntos, en ella con un lenguaje matemático actual, más cercano al conocido y utilizado por los estudiantes del Grado en otras asignaturas, se profundiza en estas cuestiones de manera didáctica y actual. El profesor Gómez Bermudez es un auténtico especialista, que ha publicado artículos, trabajos y libros sobre George Cantor.

R. DiMartino & W. Urbina, "Excursiones a conjuntos similares al conjunto de Cantor", Gaceta RSME

Este artículo sobre el denominado conjunto de Cantor, va destinado a aquellos estudiantes que quieran profundizar en este tema, tratado en el texto de Torretti. Es muy interesante y completo el estudio de dicho conjunto perfecto y nunca denso en la recta real.


Para los muy curiosos: si queréis, además, echar un "vistazo virtual" a la edición de escritos de Cantor que ha preparado Gómez Bermúdez, podéis consultar esta reseña: La Gaceta de la RSME, Vol. 24 (2021), Núm. 1, Págs. 211–219 
===== Parte I | Conjuntos =====

==== (1) Haga una breve semblanza (1000 palabras) de Georg Cantor apoyándose en materiales que encuentre en la red –e incluya la referencia ====

  * https://plato.stanford.edu/search/search?query=%22georg+cantor%22

==== (2)  Explique de qué modo se originan las ideas de Cantor sobre el infinito en el estudio de las series trigonométricas  ====

  * [[https://institucional.us.es/blogimus/2018/10/__trashed/|Fourier, Cantor, las series trigonométricas y la teoría de conjuntos]]


==== (3) Explique el concepto cantoriano de potencia (numerosidad) y los distintos tipos de infinito que permite distinguir ====


==== (4) Según Torretti, ¿qué dos vías confluyeron en la formación del concepto de transfinito? ====


==== (5) ¿Por qué el teorema del buen orden es central para el programa de Cantor? ====



==== (6) ¿Por qué los cardinales transfinitos son distintos de los ordinales?  ====


==== (7) ¿Qué es la hipótesis del continuo y cómo afecta al programa de Cantor?  ====


==== (8) ¿Por qué no toda “pluralidad bien definida” sería un conjunto en el sentido de Cantor?  ====


==== (9) Explique la controversia entre Poincaré y Zermelo a propósito del axioma de selección  ====


==== (10) ¿Por qué se hizo necesario definir axiomáticamente la teoría de conjuntos? ====
 

==== Materiales de apoyo ====

  * [[https://www.um.es/documents/118351/1884002/TFG_GONZALEZ+LOPEZ%2C%20JOSE+JAVIER.pdf/7fb2a912-2170-4964-9919-c8275f937bf4|Georg Cantor, el Constructor del Paraíso]], TFG de José Javier González López
  * [[materiales-complementarios]]


===== Parte II | Cálculos =====

==== (11) Haga una breve semblanza (1000 palabras) de David Hilbert apoyándose en materiales que encuentre en la red –e incluya la referencia- ====


==== (12)  Explique  la  importancia  de  los  conceptos  de  consistencia,  punto  de  vista  finito  y razonamiento  sustantivo  en  el  programa  de  Hilbert  ====


==== (13) Explique cuál era el proyecto de Gottlob Frege y en qué sentido su definición de número introdujo una contradicción que lo arruinaría ====


==== (14) Explique las paradojas de Cantor y Burali-Forti y en qué sentido afectaban al concepto cantoriano de transfinito. Explique también en qué sentido la teoría russelliana de los tipos proporcionaba una solución y a qué coste ====


==== (15)  ¿Por  qué  el  concepto  de  aseveración  funcional  y  el  modo  recursivo  de  pensar defendidos por Thoralf Skolem permitirían una fundamentación hilbertiana de la aritmética? ====


==== (16) ¿En qué consiste el problema de la decisión? ¿En qué sentido lo resuelve E. Post para el cálculo proposicional? ====


==== (17) ¿De qué modo prueba Gödel que el cálculo predicativo de primer orden es completo? ¿Por qué la prueba no es constructiva? ====


==== (18) ¿Qué es, para Hilbert, la teoría de la prueba? ¿En qué sentido el procedimiento de gödelización utilizado en la prueba de los teoremas de incompletitud ejemplifica esta teoría hilbertiana? ====


==== (19) Explique y comente la siguiente afirmación de Torretti (p. 352): el primer teorema de incompletitud de Gödel “habrá de parecernos mucho más grave si creemos que P y los sistemas afines comprende todos los recursos de que dispone el hombre para conocer con certeza una verdad sobre números no incluida ya en la aritmética finitista”  ====


==== (20)  ¿En  qué  sentido  la  tesis  de  Church  constituye  “una  decisión  de  aceptar  la computabilidad  como  criterio  de  calculabilidad”  (p.  376)?  ====


==== (21) ¿Qué quiere decir que “el problema de la detención es insoluble”? ====


==== (22)  Gerhard  Gentzen  utilizó  la  inducción  transfinita  en  sus  dos  demostraciones  de  la consistencia de la aritmética formalizada. Explique y comente la siguiente observación de Torretti (p. 319): “Si el programa de Hilbert acaba recurriendo al transfinito, ¿por qué tantos melindres y reservas ante el paraíso heredado de Cantor? ¿por qué no instalarse en él, alegremente, de una vez por todas?” ====

==== Materiales de Apoyo ====

  * [[https://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/|Hilbert's Program]], Stanford Encyclopedia of Philosophy

===== Sumario del libro de Torretti =====

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Prefacio xi 

1 CONJUNTOS

1.1 La palabra ʻconjuntoʼ en la matemática del siglo XX .........................................................1
1.2 ʻConjuntoʼ (ʻMengeʼ) en el vocabulario de Cantor ............................................................7
1.3 Series trigonométricas .....................................................................................13
1.4 Diversos infinitos .........................................................................................21
1.5 Aritmética transfinita .....................................................................................29
1.6 Paradojas y filosofemas ....................................................................................49
1.7 El Teorema del Buen Orden y el Axioma de Selección .........................................................63
1.8 Axiomas para una teoría de conjuntos .......................................................................71
1.8.1 Zermelo (1908) ...........................................................................................71
1.8.2 ¿Qué está ʻbien definidoʼ? ...............................................................................80
1.8.3 El Axioma de Reemplazo ...................................................................................87
1.8.4 Aportes de von Neumann ...................................................................................90
1.8.5 Zermelo (1930) ..........................................................................................102

2 CÁLCULOS

2.1 El programa de Hilbert ................................................................................... 115
2.2 Escritura conceptual ......................................................................................129
2.3 Fundamentos de la aritmética ..............................................................................145
2.3.1 Peano (1889) ............................................................................................145
2.3.2 Dedekind (1888) .........................................................................................151
2.3.3 Frege (1884) ............................................................................................159
2.4 La teoría de los tipos lógicos ............................................................................177
2.5 Aritmética finitista ..................................................................................... 211
2.6 Pruebas de consistencia ...................................................................................219
2.6.1 Ackermann (1925) ........................................................................................219
2.6.2 Von Neumann (1927) ......................................................................................232
2.6.3 Herbrand (1931b) ........................................................................................241
2.7 El Entscheidungsproblem y el Teorema de Herbrand ..........................................................247
2.8 El cálculo predicativo de primer orden es completo ........................................................273
2.9 El programa de Hilbert visto más de cerca .................................................................295
2.9.1 Axiomatización y formalización ..........................................................................295
2.9.2 Balbuceos formales (Hilbert 1904) .......................................................................297
2.9.3 Teoría de la prueba .....................................................................................304
2.9.4 La investigación de la consistencia de la matemática formalizada, a la luz del descubrimiento de Gödel ..316
2.10 Los Teoremas de Incompletud de Gödel .....................................................................321
2.10.1 Preliminares ...........................................................................................321
2.10.2 La incompletud de la aritmética ........................................................................326
2.10.3 La indemostrabilidad de la consistencia ................................................................354
2.11 Funciones computables ....................................................................................359
2.11.1 Funciones recursivas generales .........................................................................361
2.11.2 La Tesis y el Teorema de Church ........................................................................369
2.11.3 Las máquinas de Turing .................................................................................381
2.11.4 Diagramas y ejemplos ...................................................................................383
2.11.5 Demostración de resultados .............................................................................407
2.12 Consistencia de la aritmética: la prueba de Gentzen ......................................................421
2.12.1 Un cálculo aritmético ..................................................................................423
2.12.2 Reducciones ............................................................................................429
2.12.3 Orden de las derivaciones e inducción transfinita ......................................................441

APÉNDICES

I Las definiciones cantorianas de ʻconjunto bien ordenadoʼ ....................................................459
II Más sobre el buen orden ....................................................................................461
III La cardinalidad de la segunda clase de ordinales ..........................................................463
IV El argumento de Burali-Forti ...............................................................................465
V La segunda demostración del Teorema del Buen Orden (Zermelo 1908) ...........................................468
VI Los axiomas de Zermelo (1908a) .............................................................................471
VII Independencia del Axioma de Selección (Fraenkel 1922a) ....................................................472
VIII Definición por inducción transfinita (von Neumann 1928) ..................................................476
IX El cálculo predicativo .....................................................................................480
X Axiomas de la lógica (Frege 1879) ...........................................................................502
XI Definiciones recursivas (Dedekind 1888) ....................................................................504
XII Extensión y recorrido (Frege 1891, 1893a) .................................................................509
XIII Fórmulas prenexas ........................................................................................516
XIV El cálculo de predicados monádicos es decidible ...........................................................522
XV El cálculo proposicional es completo .......................................................................525
XVI Una forma abstracta del Primer Teorema de Incompletud de Gödel (Smullyan 1992) ............................527
XVII Números de Gödel: Una alternativa ........................................................................529
XVIII Los axiomas del cálculo de primer orden investigado por Gödel (1930) son derivables en el cálculo 
de secuentes propuesto por Gentzen (1938) .....................................................................531
XIX Algunas ideas de Brouwer ..................................................................................535
GLOSARIO ......................................................................................................541
OBRAS CITADAS .................................................................................................551
ABREVIATURAS Y SÍMBOLOS .......................................................................................573
ÍNDICE DE PERSONAS Y CONCEPTOS ................................................................................575
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