RECURSOS
RECURSOS
Asignatura optativa del Grado de Matemáticas de la UNED.
El curso está estructurado en torno al cuestionario sobre el texto de Torretti: son 22 preguntas que el estudiante puede resolver en 11 semanas.
Cada estudiante debe resolver ambas preguntas (dedicando unas 500 palabras a cada respuesta) y colgarlas en el foro dedicado a ello en el curso virtual como prueba de evaluación continua. Sin embargo, las preguntas no analizan con igual intensidad todas las partes del libro. Las diez primeras se concentran sobre las 100 primeras páginas. Pero sólo hay cuatro preguntas sobre las 70 páginas siguientes. Sobre los tres últimos capítulos del libro (2.10, 2.11 y 2.12) se formulan apenas tres preguntas generales, pero su estudio requiere bastante profundidad. Como principio general, no se pretende que el alumno maneje o memorice los muchos formalismos y demostraciones que presenta Torretti, sino que debe trabajar con ellos para poder responder con precisión a las preguntas planteadas en el cuestionario. Se recomienda que cada estudiante vaya avanzando y resolviendo el cuestionario a su paso, sin perder de vista el calendario de referencia del curso. Cuando le surjan dudas, debe colgarlas en el foro dedicado al efecto en el curso virtual.
Si el alumno desea tener una introducción accesible al conjunto de la Historia de la matemática, puede utilizar el libro de Hans Wussing, Lecciones de Historia de la matemática , Madrid, Siglo XXI, 1998.
Una recopilación de textos originales que le servirá para ilustrarla es la de S. Hawking, Dios creó los números, Barcelona, Crítica, 2006.
Buena parte de los textos originales en los que se apoya el libro de Torretti se encuentran recopilados en J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, Harvard, Harvard University Press, 1990.
SUMARIO Prefacio xi 1 CONJUNTOS 1.1 La palabra ʻconjuntoʼ en la matemática del siglo XX .........................................................1 1.2 ʻConjuntoʼ (ʻMengeʼ) en el vocabulario de Cantor ............................................................7 1.3 Series trigonométricas .....................................................................................13 1.4 Diversos infinitos .........................................................................................21 1.5 Aritmética transfinita .....................................................................................29 1.6 Paradojas y filosofemas ....................................................................................49 1.7 El Teorema del Buen Orden y el Axioma de Selección .........................................................63 1.8 Axiomas para una teoría de conjuntos .......................................................................71 1.8.1 Zermelo (1908) ...........................................................................................71 1.8.2 ¿Qué está ʻbien definidoʼ? ...............................................................................80 1.8.3 El Axioma de Reemplazo ...................................................................................87 1.8.4 Aportes de von Neumann ...................................................................................90 1.8.5 Zermelo (1930) ..........................................................................................102 2 CÁLCULOS 2.1 El programa de Hilbert ................................................................................... 115 2.2 Escritura conceptual ......................................................................................129 2.3 Fundamentos de la aritmética ..............................................................................145 2.3.1 Peano (1889) ............................................................................................145 2.3.2 Dedekind (1888) .........................................................................................151 2.3.3 Frege (1884) ............................................................................................159 2.4 La teoría de los tipos lógicos ............................................................................177 2.5 Aritmética finitista ..................................................................................... 211 2.6 Pruebas de consistencia ...................................................................................219 2.6.1 Ackermann (1925) ........................................................................................219 2.6.2 Von Neumann (1927) ......................................................................................232 2.6.3 Herbrand (1931b) ........................................................................................241 2.7 El Entscheidungsproblem y el Teorema de Herbrand ..........................................................247 2.8 El cálculo predicativo de primer orden es completo ........................................................273 2.9 El programa de Hilbert visto más de cerca .................................................................295 2.9.1 Axiomatización y formalización ..........................................................................295 2.9.2 Balbuceos formales (Hilbert 1904) .......................................................................297 2.9.3 Teoría de la prueba .....................................................................................304 2.9.4 La investigación de la consistencia de la matemática formalizada, a la luz del descubrimiento de Gödel ..316 2.10 Los Teoremas de Incompletud de Gödel .....................................................................321 2.10.1 Preliminares ...........................................................................................321 2.10.2 La incompletud de la aritmética ........................................................................326 2.10.3 La indemostrabilidad de la consistencia ................................................................354 2.11 Funciones computables ....................................................................................359 2.11.1 Funciones recursivas generales .........................................................................361 2.11.2 La Tesis y el Teorema de Church ........................................................................369 2.11.3 Las máquinas de Turing .................................................................................381 2.11.4 Diagramas y ejemplos ...................................................................................383 2.11.5 Demostración de resultados .............................................................................407 2.12 Consistencia de la aritmética: la prueba de Gentzen ......................................................421 2.12.1 Un cálculo aritmético ..................................................................................423 2.12.2 Reducciones ............................................................................................429 2.12.3 Orden de las derivaciones e inducción transfinita ......................................................441 APÉNDICES I Las definiciones cantorianas de ʻconjunto bien ordenadoʼ ....................................................459 II Más sobre el buen orden ....................................................................................461 III La cardinalidad de la segunda clase de ordinales ..........................................................463 IV El argumento de Burali-Forti ...............................................................................465 V La segunda demostración del Teorema del Buen Orden (Zermelo 1908) ...........................................468 VI Los axiomas de Zermelo (1908a) .............................................................................471 VII Independencia del Axioma de Selección (Fraenkel 1922a) ....................................................472 VIII Definición por inducción transfinita (von Neumann 1928) ..................................................476 IX El cálculo predicativo .....................................................................................480 X Axiomas de la lógica (Frege 1879) ...........................................................................502 XI Definiciones recursivas (Dedekind 1888) ....................................................................504 XII Extensión y recorrido (Frege 1891, 1893a) .................................................................509 XIII Fórmulas prenexas ........................................................................................516 XIV El cálculo de predicados monádicos es decidible ...........................................................522 XV El cálculo proposicional es completo .......................................................................525 XVI Una forma abstracta del Primer Teorema de Incompletud de Gödel (Smullyan 1992) ............................527 XVII Números de Gödel: Una alternativa ........................................................................529 XVIII Los axiomas del cálculo de primer orden investigado por Gödel (1930) son derivables en el cálculo de secuentes propuesto por Gentzen (1938) .....................................................................531 XIX Algunas ideas de Brouwer ..................................................................................535 GLOSARIO ......................................................................................................541 OBRAS CITADAS .................................................................................................551 ABREVIATURAS Y SÍMBOLOS .......................................................................................573 ÍNDICE DE PERSONAS Y CONCEPTOS ................................................................................575