filosofias.es

ISSN 2387-1571

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Traza: • motd_historico • Episodio 55: Conspiranoia y Conspiraciones (Especial Día de los Inocentes) • Episodio 25. Filosofía y Religión • Episodio 18: La estupidez natural (sin inteligencia artificial ni aditivos ni colorantes) • Antecedentes • Causalidad • Gramática de la argumentación - Vincenzo Lo Cascio • Scientific Discovery in the Social Sciences • Episodio 19: Historia de dos cuerpos • Episodio 10: Juicios culturales. ¿Cómo juzgar a los que son diferentes? Relativismo cultural y etnocentrismo.
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podcast:episodios:7 [2019/06/28 10:40] – [Los trabajos de Gödel. El fructífero verano de 1930] Joaquín Herrero Pintadopodcast:episodios:7 [2019/06/28 11:52] (actual) – [Referencias] Joaquín Herrero Pintado
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 ==== Implicaciones filosóficas ==== ==== Implicaciones filosóficas ====
  
-En su introducción a la traducción que hizo del escrito de Gödel, apartado 3, titulado //Implicaciones filosóficas del teorema de Gödel//, Manuel Garrido indica estas consecuencias:+En su introducción a la traducción que hizo del escrito de Gödel (ver abajo en las referencias), apartado 3, titulado //Implicaciones filosóficas del teorema de Gödel//, Manuel Garrido indica estas consecuencias:
  
   * Lectura pseudo-kantiana: igual que Kant puso límite a los sueños dogmáticos de la metafísica de Leibniz, Gödel limita la razón lógica representada por el formalismo de Hilbert o el logicismo de Russell.   * Lectura pseudo-kantiana: igual que Kant puso límite a los sueños dogmáticos de la metafísica de Leibniz, Gödel limita la razón lógica representada por el formalismo de Hilbert o el logicismo de Russell.
   * Lectura hegeliana: la segunda tesis de Gödel (indemostrabilidad de consistencia del sistema) corroboraría que la razón es una odisea cuyo ritmo de progreso viene marcado por la interminable secuencia tesis-antítesis-síntesis que Hegel narró en su //Fenomenología del espíritu//.   * Lectura hegeliana: la segunda tesis de Gödel (indemostrabilidad de consistencia del sistema) corroboraría que la razón es una odisea cuyo ritmo de progreso viene marcado por la interminable secuencia tesis-antítesis-síntesis que Hegel narró en su //Fenomenología del espíritu//.
 +
 +Pero además de esas consecuencias hay otras que tienen que ver con el siglo XXI pensado filosóficamente: el alcance de los algoritmos informáticos y las posibilidades de la inteligencia artificial. También nos preguntamos si esos teoremas nos dirán algo sobre nuestra mente o nuestra capacidad de razonar. Aquí tienes el resto de consecuencias filosóficas:
  
 ==== Problema para los algoritmos informáticos y la inteligencia artificial ==== ==== Problema para los algoritmos informáticos y la inteligencia artificial ====
  
-El problema tiene como punto de partida un problema matemático relacionado con los infinitos de diferente tamaño: la relación entre números naturales y reales y la posibilidad de relacionar ambos conjuntos de números. +Alonzo Church describe las consecuencias matemáticas de los teoremas de Gödel en su trabajo [[https://www.ics.uci.edu/~lopes/teaching/inf212W12/readings/church.pdf|An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory]] de 1936 mediante un artefacto de cálculo que llamó "cálculo lambda".
- +
-> ¿Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales? Pues, por el tema de que los reales rellenan la recta de manera continua, se le llamó c (de continuo). Como podéis ver, este cardinal infinito no aparece en la lista anterior…o sí, y me explico. Por un lado, aleph uno es define como el menor cardinal infinito que es mayor que aleph cero, y por otro lado c (el cardinal de los números reales) es también mayor que aleph cero. Además, se sabe que el cardinal de los reales, c, es igual a 2 elevado a aleph cero. La pregunta que surge es la siguiente: ¿son iguales? Bien, pues eso es lo que afirma la denominada hipótesis del continuo. Cantor pensaba que era cierto que ambos cardinales son iguales, pero no fue capaz de demostrarlo. Más adelante, trabajos de Kurt Gödel y Paul Cohen concluyeron que la hipótesis del continuo es indecidible dentro de nuestra teoría de conjuntos, lo que significa que dentro de nuestra teoría de conjuntos (Zermelo-Fraenkel junto al axioma de elección) no se puede ni demostrar ni refutar esta hipótesis. Por tanto, podemos construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo es cierta y otra, también consistente, donde dicha hipótesis es falsa. Casi nada.  +
- +
---- [[https://elpais.com/elpais/2017/07/26/el_aleph/1501085305_943289.html|Cantor, el Aleph y los distintos infinitos]], elpais.com+
  
 Alan Turing describe las consecuencias computacionales de los teoremas de Gödel en su conocido trabajo de 1936 "ON COMPUTABLE NUMBERS, WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM", como muy bien lo describe Alan Richmond en su página [[http://tuxar.uk/turing/computable-numbers/|Alan Turing on Computable Numbers and Computer Programs]]. Para ello idea un artefacto teórico para calcular al que posteriormente llamaríamos "máquinas de Turing". Alan Turing describe las consecuencias computacionales de los teoremas de Gödel en su conocido trabajo de 1936 "ON COMPUTABLE NUMBERS, WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM", como muy bien lo describe Alan Richmond en su página [[http://tuxar.uk/turing/computable-numbers/|Alan Turing on Computable Numbers and Computer Programs]]. Para ello idea un artefacto teórico para calcular al que posteriormente llamaríamos "máquinas de Turing".
  
-Alonzo Church describe las consecuencias matemáticas de los teoremas de Gödel en su trabajo [[https://www.ics.uci.edu/~lopes/teaching/inf212W12/readings/church.pdf|An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory]] de 1936 mediante un artefacto de cñalculo que llamó "cálculo lambda".+El problema tiene como punto de partida un problema matemático relacionado con los infinitos de diferente tamaño: la relación entre números naturales y reales y la posibilidad de relacionar ambos conjuntos de números. Dice el diario EL PAÍS en [[https://elpais.com/elpais/2017/07/26/el_aleph/1501085305_943289.html|Cantor, el Aleph y los distintos infinitos]]:
  
 +> ¿Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales? Pues, por el tema de que los reales rellenan la recta de manera continua, se le llamó c (de continuo). Como podéis ver, este cardinal infinito no aparece en la lista anterior…o sí, y me explico. Por un lado, aleph uno es define como el menor cardinal infinito que es mayor que aleph cero, y por otro lado c (el cardinal de los números reales) es también mayor que aleph cero. Además, se sabe que el cardinal de los reales, c, es igual a 2 elevado a aleph cero. La pregunta que surge es la siguiente: ¿son iguales? Bien, pues eso es lo que afirma la denominada hipótesis del continuo. Cantor pensaba que era cierto que ambos cardinales son iguales, pero no fue capaz de demostrarlo. Más adelante, trabajos de Kurt Gödel y Paul Cohen concluyeron que la hipótesis del continuo es indecidible dentro de nuestra teoría de conjuntos, lo que significa que dentro de nuestra teoría de conjuntos (Zermelo-Fraenkel junto al axioma de elección) no se puede ni demostrar ni refutar esta hipótesis. Por tanto, podemos construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo es cierta y otra, también consistente, donde dicha hipótesis es falsa. Casi nada. 
  
 Es decir, que partimos de que [[https://naukas.com/2013/07/16/cuantos-numeros-reales-hay/|hay más números reales que naturales]] y que los programas de ordenador (una formalización) se pueden transformar en números naturales (por la Gödelización). La cantidad completa de programas de ordenador posible es como los números naturales (aleph cero) pero el número de posibles verdades es como los racionales. Mediante combinar símbolos del conjunto de números naturales es imposible calcular todos los números reales. Es decir, que partimos de que [[https://naukas.com/2013/07/16/cuantos-numeros-reales-hay/|hay más números reales que naturales]] y que los programas de ordenador (una formalización) se pueden transformar en números naturales (por la Gödelización). La cantidad completa de programas de ordenador posible es como los números naturales (aleph cero) pero el número de posibles verdades es como los racionales. Mediante combinar símbolos del conjunto de números naturales es imposible calcular todos los números reales.
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 Sara Robisco plantea el asunto de si el trabajo de la revista Nature tiene relación con el entrenamiento de redes neuronales y la capacidad de la red neuronal de acertar al clasificar una imagen. Plantea, por ejemplo, un sistema de machine learning que clasifique imágenes de playas y que haya sido entrenado a partir de ciertas imágenes de playas. ¿Podríamos asemejar los datos de entrenamiento con los números naturales y las nuevas imágenes que va a tener que clasificar con los números reales (ya que la realidad es mucho más rica que la abstracción que ha hecho la red neuronal)? Villatoro contesta que no necesariamente ya que en el ejemplo de la red neuronal clasificadora de playas no hablamos de conjuntos infinitos sino de conjuntos finitos muy grandes y los problemas de aprendizaje suceden no por indecibilidad sino por entrenamiento deficiente de la red neuronal. Sara Robisco plantea el asunto de si el trabajo de la revista Nature tiene relación con el entrenamiento de redes neuronales y la capacidad de la red neuronal de acertar al clasificar una imagen. Plantea, por ejemplo, un sistema de machine learning que clasifique imágenes de playas y que haya sido entrenado a partir de ciertas imágenes de playas. ¿Podríamos asemejar los datos de entrenamiento con los números naturales y las nuevas imágenes que va a tener que clasificar con los números reales (ya que la realidad es mucho más rica que la abstracción que ha hecho la red neuronal)? Villatoro contesta que no necesariamente ya que en el ejemplo de la red neuronal clasificadora de playas no hablamos de conjuntos infinitos sino de conjuntos finitos muy grandes y los problemas de aprendizaje suceden no por indecibilidad sino por entrenamiento deficiente de la red neuronal.
  
-Añade Villatoro+Añade Villatoro:
  
 >"Imaginemos todas las imágenes del mundo de 100 megapíxeles donde cada pixel en un modelo RGB de tres colores tiene 16 millones de posibles valores. Eso es un conjunto finito (una cardinalidad finita): son imágenes de 100 megapíxeles donde cada pixel tiene 16 millones de colores. Yo en este conjunto puedo aprender el conjunto finito de imágenes para distinguir cuáles son de playa y cuáles no son de playa. Para eso no hay ningún problema. Con un algoritmo de aprendizaje explorando el 1% o 1 por mil de ese conjunto hay una probabilidad muy alta de acertar qué es playa y qué no es playa. Pero en este artículo en concreto lo que sería el pixel es un número real entre 0 y 1. Un número REAL entre 0 y 1. Un número que no se puede representar en una máquina porque tiene infinitos dígitos a priori. Aquí la clave es que lo que yo estoy aprendiendo en este algoritmo es la distribución de probabilidad de la función que yo aprendo (que es una distribución de probabilidad) asociada a una serie de datos. Y esa distribución de probabilidad tiene que tener valores en los reales para que haya esa dificultad. Cuando tú esa distribución de probabilidad la pones en los enteros ya esta dificultad desaparece y ya no hay este problema de indecibilidad del aprendizaje. Osea, si el conjunto de aprendizaje es finito no hay problema. El problema es cuando el conjunto es no numerable y entonces yo extraigo subconjuntos finitos pero de objetos que tienen propiedades no numerables." >"Imaginemos todas las imágenes del mundo de 100 megapíxeles donde cada pixel en un modelo RGB de tres colores tiene 16 millones de posibles valores. Eso es un conjunto finito (una cardinalidad finita): son imágenes de 100 megapíxeles donde cada pixel tiene 16 millones de colores. Yo en este conjunto puedo aprender el conjunto finito de imágenes para distinguir cuáles son de playa y cuáles no son de playa. Para eso no hay ningún problema. Con un algoritmo de aprendizaje explorando el 1% o 1 por mil de ese conjunto hay una probabilidad muy alta de acertar qué es playa y qué no es playa. Pero en este artículo en concreto lo que sería el pixel es un número real entre 0 y 1. Un número REAL entre 0 y 1. Un número que no se puede representar en una máquina porque tiene infinitos dígitos a priori. Aquí la clave es que lo que yo estoy aprendiendo en este algoritmo es la distribución de probabilidad de la función que yo aprendo (que es una distribución de probabilidad) asociada a una serie de datos. Y esa distribución de probabilidad tiene que tener valores en los reales para que haya esa dificultad. Cuando tú esa distribución de probabilidad la pones en los enteros ya esta dificultad desaparece y ya no hay este problema de indecibilidad del aprendizaje. Osea, si el conjunto de aprendizaje es finito no hay problema. El problema es cuando el conjunto es no numerable y entonces yo extraigo subconjuntos finitos pero de objetos que tienen propiedades no numerables."
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 >"... y aún así te sobran números entre 0 y 1. Hay infinitos números entre 0 y 1 que te sobran porque entre 0 y 1 hay infinitos números. Entonces si tú solo metes los números entre 1 y 1 millón te sobran infinitos." >"... y aún así te sobran números entre 0 y 1. Hay infinitos números entre 0 y 1 que te sobran porque entre 0 y 1 hay infinitos números. Entonces si tú solo metes los números entre 1 y 1 millón te sobran infinitos."
  
-Socas+Socas:
  
 >"No me sobran: cualquier número entre 0 y 1 lo multiplico por 1 millón y tengo un correspondiente entre... Osea, la operación "multiplicar por 1 millón" me establece una biyección entre el intervalo 0 y 1 y el intervalo 0 y 1 millon..." >"No me sobran: cualquier número entre 0 y 1 lo multiplico por 1 millón y tengo un correspondiente entre... Osea, la operación "multiplicar por 1 millón" me establece una biyección entre el intervalo 0 y 1 y el intervalo 0 y 1 millon..."
  
-Aparici+Aparici:
  
 >"Ah, vale, perdón, estás hablando de reales, yo creía que estabas hablando de enteros" >"Ah, vale, perdón, estás hablando de reales, yo creía que estabas hablando de enteros"
  
-Socas+Socas:
  
 >"No, reales" >"No, reales"
  
-Aparici+Aparici:
  
 >"Ah, hablando de reales sí, sí"  >"Ah, hablando de reales sí, sí" 
  
-Villatoro+Villatoro:
  
 >"Pero fijaros, todos esos reales se pueden aproximar por un racional, por un cociente de enteros. Y los cocientes de enteros tienen la cardinalidad de los enteros. Puedo ordenar las fracciones, puedo coger la fracción 1/1, la fracción 1/2, la fracción 1/3 2/3, 1/4 2/4 3/4, etc. y las pongo ordenadas 1,2,3,4, las voy ordenando. Cojo todas las fracciones en un plano de puntitos, de enteros, Z2 y voy haciendo una especie de espiral y voy recorriéndola y la espiral es unidimensional. Es decir, puedo hacer una correspondencia entre todos los racionales, entre todos los cocientes de enteros, con la recta de los enteros. Y todo real se puede aproximar por un racional también como yo quiera. Pero hay más reales." >"Pero fijaros, todos esos reales se pueden aproximar por un racional, por un cociente de enteros. Y los cocientes de enteros tienen la cardinalidad de los enteros. Puedo ordenar las fracciones, puedo coger la fracción 1/1, la fracción 1/2, la fracción 1/3 2/3, 1/4 2/4 3/4, etc. y las pongo ordenadas 1,2,3,4, las voy ordenando. Cojo todas las fracciones en un plano de puntitos, de enteros, Z2 y voy haciendo una especie de espiral y voy recorriéndola y la espiral es unidimensional. Es decir, puedo hacer una correspondencia entre todos los racionales, entre todos los cocientes de enteros, con la recta de los enteros. Y todo real se puede aproximar por un racional también como yo quiera. Pero hay más reales."
  
-Socas+Socas:
  
 >"¿Por eso se dice, Francis, que hay más irracionales que racionales? >"¿Por eso se dice, Francis, que hay más irracionales que racionales?
  
-Villatoro+Villatoro:
  
 >"Claro. Hay tantos irracionales como reales. Y tantos racionales como enteros." >"Claro. Hay tantos irracionales como reales. Y tantos racionales como enteros."
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 >"Es más, los irracionales caen en varios grupos. Esto es ya es otra cosa pero a mi me mola mucho este asunto. Los irracionales caen en varios grupos y de ellos solo uno contiene toda la cardinalidad de los reales. Todos los demás tienen medida cero. Por ejemplo, hay irracionales que se hacen con raíces cuadradas; raiz de 2 es un irracional, eso se llaman números algebráicos, son soluciones de ecuaciones. Bueno, hay "Aleph 0" números algebráicos. Los números algebráicos son tantos como los enteros porque todas las ecuaciones posibles puedes ponerlas en correspondencia con los números naturales. Puedes morirte haciendo raíces y eso es cero en comparación con los reales. Nada. Los reales son realmente los irracionales trascendentes, los que no son solución de ninguna ecuación algebráica. Y, de hecho, solo cierta clase de los trascendentes, porque hay varias clases." >"Es más, los irracionales caen en varios grupos. Esto es ya es otra cosa pero a mi me mola mucho este asunto. Los irracionales caen en varios grupos y de ellos solo uno contiene toda la cardinalidad de los reales. Todos los demás tienen medida cero. Por ejemplo, hay irracionales que se hacen con raíces cuadradas; raiz de 2 es un irracional, eso se llaman números algebráicos, son soluciones de ecuaciones. Bueno, hay "Aleph 0" números algebráicos. Los números algebráicos son tantos como los enteros porque todas las ecuaciones posibles puedes ponerlas en correspondencia con los números naturales. Puedes morirte haciendo raíces y eso es cero en comparación con los reales. Nada. Los reales son realmente los irracionales trascendentes, los que no son solución de ninguna ecuación algebráica. Y, de hecho, solo cierta clase de los trascendentes, porque hay varias clases."
  
-Villatoro resume finalmente la conexión entre la no calculabilidad de los números reales a partir de los naturales y la indecibilidad de muchos problemas matemáticos cuando se intentan resolver a base de algoritmos.+Villatoro resume finalmente la conexión entre la no calculabilidad de los números reales a partir de los naturales y la indecibilidad de muchos problemas matemáticos cuando se intentan resolver a base de algoritmos:
  
 >"Y fijaros. Todos los números calculables, como π o como e que son números trascendentes, todos los números calculables forman un conjunto de cardinalidad igual que el de los enteros porque para calcular ese número necesito un algoritmo . Y el número de algoritmos es igual al número de textos. Y el número de textos es el número de enteros." >"Y fijaros. Todos los números calculables, como π o como e que son números trascendentes, todos los números calculables forman un conjunto de cardinalidad igual que el de los enteros porque para calcular ese número necesito un algoritmo . Y el número de algoritmos es igual al número de textos. Y el número de textos es el número de enteros."
  
-Aparici+Aparici:
  
 >"Y cuando empiezas a quitar todo eso te das cuenta. ¿Qué cojo... qué narices son los reales? ¡Los reales son un monstruo! ¡Son todo lo demás! Son un ser monstruoso los reales." >"Y cuando empiezas a quitar todo eso te das cuenta. ¿Qué cojo... qué narices son los reales? ¡Los reales son un monstruo! ¡Son todo lo demás! Son un ser monstruoso los reales."
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 Finaliza Ostalé diciendo que "//El último tercio del siglo XX asistió a la «gödelitis» o intento de aplicar los teoremas de incompletud de Gödel a teorías que nada tienen que ver con AP ni con teorías formales en general. Por suerte esa moda ha pasado, gracias en parte al varapalo de Sokal a quienes utilizan terminología científica mal comprendida para impresionar a su audiencia. Desde entonces se han escrito libros que no sólo introducen los teoremas de Gödel, sino que advierten contra su abuso. Hay que decir sin embargo que estos teoremas no son ajenos a la discusión acerca de las relaciones entre inteligencia humana y artificial. Tal vez puedan formar parte de un sólido argumento antimecanicista, pero dicho argumento habrá de incorporar otras premisas. En especial, premisas acerca de cómo funciona de hecho el cerebro y cómo debería funcionar una máquina pensante.//". Finaliza Ostalé diciendo que "//El último tercio del siglo XX asistió a la «gödelitis» o intento de aplicar los teoremas de incompletud de Gödel a teorías que nada tienen que ver con AP ni con teorías formales en general. Por suerte esa moda ha pasado, gracias en parte al varapalo de Sokal a quienes utilizan terminología científica mal comprendida para impresionar a su audiencia. Desde entonces se han escrito libros que no sólo introducen los teoremas de Gödel, sino que advierten contra su abuso. Hay que decir sin embargo que estos teoremas no son ajenos a la discusión acerca de las relaciones entre inteligencia humana y artificial. Tal vez puedan formar parte de un sólido argumento antimecanicista, pero dicho argumento habrá de incorporar otras premisas. En especial, premisas acerca de cómo funciona de hecho el cerebro y cómo debería funcionar una máquina pensante.//".
  
-Fue Alan Turing el que hizo implícitamente una equivalencia entre la mente humana y su //máquina universal// en su trabajo de 1950 titulado [[http://www.cs.toronto.edu/~frank/csc2501/Readings/R1_Turing/Turing-1950.pdf|Computer Machinery and Intelligence]] planteó la cuestión //¿puede pensar una máquina?//, postulando implícitamente la tesis de la identidad funcionalk +Fue Alan Turing el que hizo implícitamente una equivalencia entre la mente humana y su //máquina universal// en su trabajo de 1950 titulado [[http://www.cs.toronto.edu/~frank/csc2501/Readings/R1_Turing/Turing-1950.pdf|Computer Machinery and Intelligence]] planteó la cuestión //¿puede pensar una máquina?//, postulando implícitamente la tesis de la identidad funcional 
- de mentes y máquinas.+ de mentes y máquinas. 
  
-El matemático y científico de la computación estadounidense Gregory Chaitin postula en [[https://www.ivoox.com/049-cold-fusion-brains-and-computers-audios-mp3_rf_8248196_1.html|el episodio 49 del podcast 'From Alpha To Omega']] la idea de que la inteligencia humana desborde en su funcionalidad los límites del cerebro ya que él identifica procesos computacionales en la forma como moléculas son capaces de almacenar datos en su interior. El investigador Miguel Foronda ya mostró en su charla [[https://t3chfest.uc3m.es/2019/programa/crispr-molecular-recording-dna-machines/|CRISPR molecular recording, DNA machines and other tiny tales from the test tube]] del T3chFest 2019 que el almacenamiento y procesamiento de información en esta escala es un hecho biológico habitual. Chaitin propone abrir el foco de las investigaciones sobre la inteligencia humana y no solo investigar el cerebro sino también tomar en cuenta esta actividad computacional a escala molecular.+  * La relación entre mente y computador que hizo Turing es muy problemática. De hecho todavía no está claro que las redes neuronales del cerebro sea el mejor referente para modelar la inteligencia. Este artículo de la revista Nature titulado [[https://www.nature.com/articles/482462a|Is the brain a good model for machine intelligence?]] se plantea eso mismo. 
 +  * Más lejos en esta línea llega el matemático y científico de la computación estadounidense Gregory Chaitin, que  postula en [[https://www.ivoox.com/049-cold-fusion-brains-and-computers-audios-mp3_rf_8248196_1.html|el episodio 49 del podcast 'From Alpha To Omega']] la idea de que la inteligencia humana desborde en su funcionalidad los límites del cerebro ya que él identifica procesos computacionales en la forma como moléculas son capaces de almacenar datos en su interior. El investigador Miguel Foronda ya mostró en su charla [[https://t3chfest.uc3m.es/2019/programa/crispr-molecular-recording-dna-machines/|CRISPR molecular recording, DNA machines and other tiny tales from the test tube]] del T3chFest 2019 que el almacenamiento y procesamiento de información en esta escala es un hecho biológico habitual. Chaitin propone abrir el foco de las investigaciones sobre la inteligencia humana y no solo investigar el cerebro sino también tomar en cuenta esta actividad computacional a escala molecular.
  
-Hablando de Chaitin, este autor amplía el rango de consecuencias de la incompletitud de la matemática e incluso llega a describir un número con el que medir lo que no conocemos de la matemática, el número omega, también llamado [[https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Chaitin|Constante de Chaitin]]. Su libro [[https://www.amazon.com/Meta-Math-Quest-Gregory-Chaitin/dp/1400077974|Meta Math]] es un delicioso recorrido por el campo de filosofía matemática que abrió Leibniz, pasa por Gödel y Turing y llega hasta el presente, donde las aportaciones de las teorías de la complejidad permiten aumentar nuestra comprensión de este complejo tema+Hablando de Chaitin, este autor amplía el rango de consecuencias de la incompletitud de la matemática e incluso llega a describir un número con el que medir lo que no conocemos de la matemática, el número omega, también llamado [[https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Chaitin|Constante de Chaitin]]. Su libro [[https://www.amazon.com/Meta-Math-Quest-Gregory-Chaitin/dp/1400077974|Meta Math]] es un delicioso recorrido por el campo de filosofía matemática que abrió Leibniz, pasa por Gödel y Turing y llega hasta el presente, donde las aportaciones de las teorías de la complejidad permiten aumentar nuestra comprensión de este complejo tema. 
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 +==== Apéndice informático ==== 
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 +¿Cómo se prueba si un determinado lenguaje de programación es una máquina de Turing completa? Mira este sorprendente artículo en el que prueban que el antiquísimo editor "ed", presente en casi todas las distribuciones Linux, es una máquina de Turing completa. Explicado paso a paso. Una joya. [[https://nixwindows.wordpress.com/2018/03/13/ed1-is-turing-complete/|ed(1) is Turing Complete]].
  
 ==== Referencias ==== ==== Referencias ====
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   * [[http://e-spacio.uned.es/fez/eserv/bibliuned:20615/recepcion_godel.pdf|La recepción de Gödel en España]], Paula Olmos y Luis Vega, ÉNDOXA: Series Filosóficas, núm. 17, 2003, pp. 379-415. UNED, Madrid   * [[http://e-spacio.uned.es/fez/eserv/bibliuned:20615/recepcion_godel.pdf|La recepción de Gödel en España]], Paula Olmos y Luis Vega, ÉNDOXA: Series Filosóficas, núm. 17, 2003, pp. 379-415. UNED, Madrid
-  * [[https://blogs.elpais.com/turing/2013/02/algunos-vinculos-entre-los-teoremas-de-godel-y-turing.html|Algunos vínculos entre los teoremas de Gödel y Turing]] +  * [[https://blogs.elpais.com/turing/2013/02/algunos-vinculos-entre-los-teoremas-de-godel-y-turing.html|Algunos vínculos entre los teoremas de Gödel y Turing]], Josep Pla i Carrera, elpais.com 
-.+ 
 +  * [[https://www.planetadelibros.com/libro-controversia-sobre-mentes-y-maquinas/89526|Controversia sobre mentes y máquinas]], Alan Ross Anderson, Tusquets Editores 
 +  * [[https://www.planetadelibros.com/libro-godel-escher-bach/89533|Godel, Escher, Bach. Un eterno grácil bucle]], Douglas Hofstadter, Tusquets Editores 
 +  * Introducción a la metamatemática, Stephen Cole Kleene, Tecnos
  
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