filosofias.es

ISSN 2387-1571

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Traza: • Episodio 52: Materiales para una filosofía del hacktivismo • Episodio 53: Los ensayos sobre tecnodiversidad de Yuk Hui • Manifiesto • Episodio 40: Inventando el futuro con Nick Srnicek - parte 4 • Episodio 55: Conspiranoia y Conspiraciones (Especial Día de los Inocentes) • Contextos semánticos y análisis argumental como propuesta para mejorar búsquedas en Internet • Revista CTS - 2013 • Una reconstrucción histórica del debate Einstein-Bohr en torno a la teoría cuántica • Episodio 1: Debates filosóficos en público. Tecnoutopías y tecnofobias. Informática y filosofía. • motd_historico
math:historia-de-las-matematicas

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math:historia-de-las-matematicas [2021/10/18 11:32] – [(2) Explique de qué modo se originan las ideas de Cantor sobre el infinito en el estudio de las series trigonométricas] Joaquín Herrero Pintadomath:historia-de-las-matematicas [2022/04/08 07:53] (actual) – [Historia de las matemáticas] Joaquín Herrero Pintado
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 Asignatura optativa del Grado de Matemáticas de la UNED. Asignatura optativa del Grado de Matemáticas de la UNED.
   * [[http://portal.uned.es/GuiasAsignaturasGrados/PDFGuiaPublica?idA=61024109&c=2022&idT=6102|Guía de la asignatura]]   * [[http://portal.uned.es/GuiasAsignaturasGrados/PDFGuiaPublica?idA=61024109&c=2022&idT=6102|Guía de la asignatura]]
 +  * {{:math:guiaii_2021_2022_-43739385.pdf|Guía II}}
 +  * [[https://filosofias.es/wiki/doku.php/ensayos/crisis-de-la-razon-y-racionalismos-contemporaneos|Crisis de la razón y racionalismos contemporáneos]], Joaquín Herrero
  
 ===== Contenidos ===== ===== Contenidos =====
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   - El desarrollo del programa de Hilbert para la Fundamentación de la matemática   - El desarrollo del programa de Hilbert para la Fundamentación de la matemática
  
 +Acceso a [[math:materiales-complementarios|]]
 +
 +Acceso a [[math:forouned|]]
 ===== Metodología ===== ===== Metodología =====
  
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 sin  perder  de  vista  el  calendario  de  referencia  del  curso.  Cuando  le  surjan  dudas,  debe sin  perder  de  vista  el  calendario  de  referencia  del  curso.  Cuando  le  surjan  dudas,  debe
 colgarlas  en  el  foro  dedicado  al  efecto  en  el  curso  virtual.  colgarlas  en  el  foro  dedicado  al  efecto  en  el  curso  virtual. 
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 +===== Cómo citar en matemáticas =====
 +
 +Nuestro tutor Antonio Juano me hacía una observación muy acertada la semana pasada. En esta asignatura puede pasaros en las PECs que queráis citar algún texto para complementar el libro de Torretti -como sucedió en la pregunta sobre su biografía.
 +
 +Y para citar correctamente es necesario un estilo de cita. Esto os hará falta en el TFG, y más si seguís luego con el Máster. Así que una cosa que podéis hacer en esta asignatura es practicar con un estilo de cita muy usado en matemáticas.
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 +Si os estáis preguntando qué es eso de citar y para qué sirve, aquí hay una explicación breve:
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 +https://www2.uned.es/biblioteca/tutorial_uso_etico/citas_bibliograficas.htm
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 +Si queréis ver un estilo de cita estándar en matemáticas, el AMS, aquí tenéis dos referencias:
 +
 +  * Un libro de estilo muy completo, las citas bibliográficas en la página 66: https://www.ams.org/publications/authors/AMS-StyleGuide-online.pdf
 +  * AMS Author Handbook Journal Classes
 +
 +No es, por supuesto, obligatorio, pero cualquier oportunidad es buena para practicar. 
 +
 +===== Recursos =====
 +
 +J. Ferreiros, Reseña de Torretti, El Paraíso de Cantor
 +
 +I. Jané, Reseña de Ferreirós, Labyrinths of Thought
 +
 +C. Álvarez, De la determinación del infinito a la inaccesibilidad en los cardinales transfinitos, Critica 26/78 (1994), 27-71
 +
 +J. Ferreirós, El enfoque conjuntista en matemáticas, LA GACETA vol. 1, no. 3 (1998), 389-412
 +
 +I. Jané, ¿De qué trata la teoría de conjuntos?, R. Orayen et al. (ed), Filosofía de la lógica, Madrid, Trotta, 2004
 +
 +J. Ferreirós, Un Episodio de la crisis de fundamentos, LA GACETA DE LA RSME, Vol. 7.2 (2004), pp. 449467
 +
 +Leo Corry, David Hilbert y su Filosofía Empiricista de la Geometría, Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, 9 (1) (2002), 27-44
 +
 +J. Ferreirós, Kurt Gödel: revolución en los fundamentos de la matemática, ARBOR Ciencia, Pensamiento y Cultura CLXXXIII 725 mayo-junio (2007) 409-418
 +
 +I, Jané, La obra de Gödel en lógica matemática y teoría de conjuntos, LA GACETA, vol. 9, no. 3, 2006, 772-788
 +
 +J. Bagaria, El legado de Turing en la lógica matemática y los fundamentos de las matemáticas, Arbor 189 (2013)
 +
 +J. Ramos Arenas, Sobre la naturaleza de la Tesis de Church. Ideas y Valores, nº 92-93, diciembre de 1993, Bogotá (Colombia), páginas 157-167.
  
 ===== Bibliografía complementaria ===== ===== Bibliografía complementaria =====
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 1990. 1990.
  
 +Antonio Juano, tutor de nuestra asignatura, nos propone las siguientes lecturas para introduciros en la asignatura, que podéis descargar de la carpeta "Lecturas introductorias", en los Documentos del curso.
 +
 +Marta Macho, Curiosidades sobre el conjunto de Cantor
 +
 +En este texto de Marta Macho, profesora de topología en la UPV/EHU y divulgadora matemática, sobre el conjunto de Cantor, realiza un contextualización histórica de la obra Cantor que os ayudará con el texto de Torretti -lo que dice sobre el conjunto como tal no lo abordaremos en el curso.
 +
 +Ian Stewart, Mentes maravillosas. Los matemáticos que cambiaron el mundo
 +
 +Este fragmento del libro del famoso divulgador Ian Stewart, se corresponde con el capítulo 12, titulado "El cardinal del continuo - George Cantor". Podríamos utilizar ese documento como una introducción amena a la asignatura, que nos atrape en el pensamiento del genio excepcional de Cantor y nos empuje al estudio de buena parte de la asignatura, que está basada en sus ideas.
 +
 +
 +Antonio Durán, "Cien años sin Cantor", Gaceta RSME
 +
 +Este artículo del profesor Durán nos dará una visión general de la asignatura, más amplio y profundo que el anterior, relacionando los diversos autores que aparecen en el texto base. Podríamos denominarlo una vista de pájaro de nuestra Historia. Hay que tener en cuenta que, si bien es cierto, todavía en un ámbito muy general, lo explica con un lenguaje muy accesible y con anécdotas que facilitan la comprensión de ciertas cuestiones más áridas.
 +
 +Carlos Gómez Bermúdez "Georg Cantor, centenario", Gaceta RSME
 +
 +Este artículo se centra en la primera parte de la asignatura, la que el profesor Torretti titula Conjuntos, en ella con un lenguaje matemático actual, más cercano al conocido y utilizado por los estudiantes del Grado en otras asignaturas, se profundiza en estas cuestiones de manera didáctica y actual. El profesor Gómez Bermudez es un auténtico especialista, que ha publicado artículos, trabajos y libros sobre George Cantor.
 +
 +R. DiMartino & W. Urbina, "Excursiones a conjuntos similares al conjunto de Cantor", Gaceta RSME
 +
 +Este artículo sobre el denominado conjunto de Cantor, va destinado a aquellos estudiantes que quieran profundizar en este tema, tratado en el texto de Torretti. Es muy interesante y completo el estudio de dicho conjunto perfecto y nunca denso en la recta real.
 +
 +
 +Para los muy curiosos: si queréis, además, echar un "vistazo virtual" a la edición de escritos de Cantor que ha preparado Gómez Bermúdez, podéis consultar esta reseña: La Gaceta de la RSME, Vol. 24 (2021), Núm. 1, Págs. 211–219 
 ===== Parte I | Conjuntos ===== ===== Parte I | Conjuntos =====
  
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   * [[https://institucional.us.es/blogimus/2018/10/__trashed/|Fourier, Cantor, las series trigonométricas y la teoría de conjuntos]]   * [[https://institucional.us.es/blogimus/2018/10/__trashed/|Fourier, Cantor, las series trigonométricas y la teoría de conjuntos]]
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 ==== (3) Explique el concepto cantoriano de potencia (numerosidad) y los distintos tipos de infinito que permite distinguir ==== ==== (3) Explique el concepto cantoriano de potencia (numerosidad) y los distintos tipos de infinito que permite distinguir ====
  
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 ==== (10) ¿Por qué se hizo necesario definir axiomáticamente la teoría de conjuntos? ==== ==== (10) ¿Por qué se hizo necesario definir axiomáticamente la teoría de conjuntos? ====
    
 +
 +==== Materiales de apoyo ====
 +
 +  * [[https://www.um.es/documents/118351/1884002/TFG_GONZALEZ+LOPEZ%2C%20JOSE+JAVIER.pdf/7fb2a912-2170-4964-9919-c8275f937bf4|Georg Cantor, el Constructor del Paraíso]], TFG de José Javier González López
 +  * [[materiales-complementarios]]
 +
  
 ===== Parte II | Cálculos ===== ===== Parte II | Cálculos =====
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 ==== (22)  Gerhard  Gentzen  utilizó  la  inducción  transfinita  en  sus  dos  demostraciones  de  la consistencia de la aritmética formalizada. Explique y comente la siguiente observación de Torretti (p. 319): “Si el programa de Hilbert acaba recurriendo al transfinito, ¿por qué tantos melindres y reservas ante el paraíso heredado de Cantor? ¿por qué no instalarse en él, alegremente, de una vez por todas?” ==== ==== (22)  Gerhard  Gentzen  utilizó  la  inducción  transfinita  en  sus  dos  demostraciones  de  la consistencia de la aritmética formalizada. Explique y comente la siguiente observación de Torretti (p. 319): “Si el programa de Hilbert acaba recurriendo al transfinito, ¿por qué tantos melindres y reservas ante el paraíso heredado de Cantor? ¿por qué no instalarse en él, alegremente, de una vez por todas?” ====
  
 +==== Materiales de Apoyo ====
 +
 +  * [[https://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/|Hilbert's Program]], Stanford Encyclopedia of Philosophy
 +
 +===== Sumario del libro de Torretti =====
 +
 +<code>
 +
 +Prefacio xi 
 +
 +1 CONJUNTOS
 +
 +1.1 La palabra ʻconjuntoʼ en la matemática del siglo XX .........................................................1
 +1.2 ʻConjuntoʼ (ʻMengeʼ) en el vocabulario de Cantor ............................................................7
 +1.3 Series trigonométricas .....................................................................................13
 +1.4 Diversos infinitos .........................................................................................21
 +1.5 Aritmética transfinita .....................................................................................29
 +1.6 Paradojas y filosofemas ....................................................................................49
 +1.7 El Teorema del Buen Orden y el Axioma de Selección .........................................................63
 +1.8 Axiomas para una teoría de conjuntos .......................................................................71
 +1.8.1 Zermelo (1908) ...........................................................................................71
 +1.8.2 ¿Qué está ʻbien definidoʼ? ...............................................................................80
 +1.8.3 El Axioma de Reemplazo ...................................................................................87
 +1.8.4 Aportes de von Neumann ...................................................................................90
 +1.8.5 Zermelo (1930) ..........................................................................................102
 +
 +2 CÁLCULOS
 +
 +2.1 El programa de Hilbert ................................................................................... 115
 +2.2 Escritura conceptual ......................................................................................129
 +2.3 Fundamentos de la aritmética ..............................................................................145
 +2.3.1 Peano (1889) ............................................................................................145
 +2.3.2 Dedekind (1888) .........................................................................................151
 +2.3.3 Frege (1884) ............................................................................................159
 +2.4 La teoría de los tipos lógicos ............................................................................177
 +2.5 Aritmética finitista ..................................................................................... 211
 +2.6 Pruebas de consistencia ...................................................................................219
 +2.6.1 Ackermann (1925) ........................................................................................219
 +2.6.2 Von Neumann (1927) ......................................................................................232
 +2.6.3 Herbrand (1931b) ........................................................................................241
 +2.7 El Entscheidungsproblem y el Teorema de Herbrand ..........................................................247
 +2.8 El cálculo predicativo de primer orden es completo ........................................................273
 +2.9 El programa de Hilbert visto más de cerca .................................................................295
 +2.9.1 Axiomatización y formalización ..........................................................................295
 +2.9.2 Balbuceos formales (Hilbert 1904) .......................................................................297
 +2.9.3 Teoría de la prueba .....................................................................................304
 +2.9.4 La investigación de la consistencia de la matemática formalizada, a la luz del descubrimiento de Gödel ..316
 +2.10 Los Teoremas de Incompletud de Gödel .....................................................................321
 +2.10.1 Preliminares ...........................................................................................321
 +2.10.2 La incompletud de la aritmética ........................................................................326
 +2.10.3 La indemostrabilidad de la consistencia ................................................................354
 +2.11 Funciones computables ....................................................................................359
 +2.11.1 Funciones recursivas generales .........................................................................361
 +2.11.2 La Tesis y el Teorema de Church ........................................................................369
 +2.11.3 Las máquinas de Turing .................................................................................381
 +2.11.4 Diagramas y ejemplos ...................................................................................383
 +2.11.5 Demostración de resultados .............................................................................407
 +2.12 Consistencia de la aritmética: la prueba de Gentzen ......................................................421
 +2.12.1 Un cálculo aritmético ..................................................................................423
 +2.12.2 Reducciones ............................................................................................429
 +2.12.3 Orden de las derivaciones e inducción transfinita ......................................................441
 +
 +APÉNDICES
 +
 +I Las definiciones cantorianas de ʻconjunto bien ordenadoʼ ....................................................459
 +II Más sobre el buen orden ....................................................................................461
 +III La cardinalidad de la segunda clase de ordinales ..........................................................463
 +IV El argumento de Burali-Forti ...............................................................................465
 +V La segunda demostración del Teorema del Buen Orden (Zermelo 1908) ...........................................468
 +VI Los axiomas de Zermelo (1908a) .............................................................................471
 +VII Independencia del Axioma de Selección (Fraenkel 1922a) ....................................................472
 +VIII Definición por inducción transfinita (von Neumann 1928) ..................................................476
 +IX El cálculo predicativo .....................................................................................480
 +X Axiomas de la lógica (Frege 1879) ...........................................................................502
 +XI Definiciones recursivas (Dedekind 1888) ....................................................................504
 +XII Extensión y recorrido (Frege 1891, 1893a) .................................................................509
 +XIII Fórmulas prenexas ........................................................................................516
 +XIV El cálculo de predicados monádicos es decidible ...........................................................522
 +XV El cálculo proposicional es completo .......................................................................525
 +XVI Una forma abstracta del Primer Teorema de Incompletud de Gödel (Smullyan 1992) ............................527
 +XVII Números de Gödel: Una alternativa ........................................................................529
 +XVIII Los axiomas del cálculo de primer orden investigado por Gödel (1930) son derivables en el cálculo 
 +de secuentes propuesto por Gentzen (1938) .....................................................................531
 +XIX Algunas ideas de Brouwer ..................................................................................535
 +GLOSARIO ......................................................................................................541
 +OBRAS CITADAS .................................................................................................551
 +ABREVIATURAS Y SÍMBOLOS .......................................................................................573
 +ÍNDICE DE PERSONAS Y CONCEPTOS ................................................................................575
 +</code>
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